It is simple to prove that this is the same condition on L as continuity, for the topologies induced from the norms.
... QOG[?] QOH[?] QOI[?] QOJ[?] QOK[?] QOL[?] QOM[?] QON[?] QOO[?] QOP[?] QOQ[?] QOR[?] QOS[?] QOT[?] QOU[?] QOV[?] QOW[?] QOX[?] QOY[?] QOZ[?] QPA[?] QPB[?] QPC[?] QPD[?] ...